Los modelos de simulación son herramientas que permiten reproducir en condiciones controladas los complejos fenómenos que se producen en la naturaleza. Un modelo será tanto más representativo del fenómeno físico que simula, cuanto más capazmente reproduzca su comportamiento, así como las leyes que lo rigen y sus interrelaciones con otros fenómenos.
En este artículo comentamos brevemente los fundamentos que rigen los modelos de simulación en hidrogeología, los cuales nos permiten entender en mayor profundidad la dinámica de los acuíferos.
1. Ecuación del flujo. Interpretación física
La ecuación general de flujo se deriva de la aplicación de la Ley de Darcy y del Teorema de la continuidad o de la conservación de masa. Se explican a continuación ambos componentes:
1.1. Experimento de Darcy
Darcy unió dos estanques con un tubo cilíndrico de longitud y sección conocida relleno de un material poroso. Comprobó lo siguiente:
- Si nivel en ambos estanques es el mismo: no hay movimiento de agua.
- Si hay una diferencia de altura entre uno y otro (∆h) hay una circulación de líquido proporcional a:
- sección de paso (A)
- la diferencia de altura (∆h)
- inverso de longitud (1/L)
Por tanto, la circulación de agua (caudal) se podría calcular de la siguiente forma:
Caudal = velocidad x sección = constante x ∆h x A / L.
Q = v·A = k · ∆h·A / L ———-> V= k · ∆h / L
Puesto que ∆h / L es el gradiente (i), la fórmula de la velocidad de Darcy puede escibirse de la siguiente forma:
v = ki
, siendo el caudal de paso la velocidad por la sección (A), el caudal de paso por la sección del tubo sería equivalente a:
q = Aki
Ésta es la ley básica de la hidrología subterránea, la cual indica que la velocidad es proporcional al gradiente y a la conductividad hidráulica del terreno. Esta ley se cumple para flujo laminar (Re > 1-10) y, puesto que el flujo subterráneo tiene velocidades bajas, se podría decir que se cumple casi siempre.
Sin embargo, no se cumple en:
- Rejillas de los pozos
- Medios fracturados cuando fracturas son muy grandes
Teorema de la continuidad o de la conservación de masa
En un volumen determinado de medio poroso saturado, la masa de fluido que entra en un determinado intervalo de tiempo es igual a la que sale en el mismo intervalo. Si las masas de entrada y salida no coinciden en el tiempo hay que admitir que se produce un cambio en la masa almacenada en ese mismo volumen.
Por tanto, según este teorema, se debe cumplir en todo caso que:
ENTRADAS = SALIDAS + VARIACIÓN ALMACENAMIENTO
Ecuación del flujo
Llegados a este punto se puede decir que la ecuación de flujo representa un balance de masas suponiendo volumen finito, en el cual, la masa de fluido que entra por cada cara es:
- Densidad del fluido
- Caudal específico (velocidad Darcy)
La expresión matemática de la ecuación de flujo es la siguiente:
, donde:
h = potencial hidráulico
F = entradas exteriores al sistema (recarga, aportes, etc.) K = permeabilidad hidráulica
S = coeficiente de almacenamiento T = transmisividad
El primer término de la ecuación representa la suma de entradas y salidas de agua en un cubo poroso ele- mental por razones de la diferencia de nivel piezométrico entre este cubo y las zonas inmediatas del acuífero:
El segundo término (F/K) representa las entradas exteriores al cubo y las propiedades hidráulicas del mismo.
Finalmente, la variación de almacenamiento en el cubo para un momento dado (S/T ∂h/∂t).
Por consiguiente, la ecuación fundamental representa matemáticamente una conclusión lógica: la diferen- cia entre la cantidad de agua que entra y sale por las caras de un cubo poroso ideal, más las entradas de agua exteriores al sistema, tiene que ser igual a la variación del almacenamiento, es decir, a lo que se llena o vacía dicho cubo. La ecuación puede resultar de difícil o imposible solución, según sean las condiciones de contorno, y es aplicable a los problemas generales del movimiento del agua en los acuíferos.
Esta ecuación es la que resuelven los softwares de simulación numérica, como por ejemplo Visual MODFLOW.
El software debe resolver la ecuación para cada cubo definido (celdas), cuya solución puede no ser única, motivo por el cual el programa realiza distintas iteraciones hasta obtener la que mejor se ajuste a las condi- ciones fijadas por el usuario, y es labor del modelista saber si las soluciones son coherentes con el modelo conceptual definido previamente.
1.2. Aproximación numérica de la ecuación de flujo
A partir de la interpretación física de la ecuación del flujo, es sencillo llegar a una aproximación numérica de ella. Bastará dividir el acuífero y el tiempo en elementos discretos.
La discretización del acuífero se muestra la siguiente figura (nótese que la teoría es válida para cualquier discretización del acuífero; la geometría del ejemplo no implica simplificación alguna). Cada uno de los polí- gonos (celdas) de la figura representa un prisma cuya altura corresponde al espesor saturado del acuífero para el polígono correspondiente.
Figura. Reticulado del acuífero
El centro de la celda se denomina C, y N, S, E, W son, respectivamente, los centros de las celdas que se encuentran al norte, sur, este y oeste de C (véase figura siguiente).
Figura. Esquema de la malla
Las características hidrodinámicas se definen considerando sus valores medios en las celdas situándolas en el centro de ellas. El principio de la conservación de masa se aplica para cada celda entre dos tiempos t1 y t2, tomando como positiva el agua que entra en la celda y como negativa la que sale.
Entre t1 y t2 el nivel piezométrico varía de Hc a Hc’. Por definición del coeficiente de almacenamiento, la variación del agua entre t1 y t2 es algebraicamente:
S ·(H’ -H )·∆x2
, siendo:
Sc el coeficiente de almacenamiento de la celda C.
H’c la altura piezométrica de la celda C en el tiempo t2 Hc la altura piezométrica de la celda C en el tiempo t1.
∆x la distancia en x.
Si el nivel sube, esta expresión es positiva. Si el nivel baja, es negativa. Hay dos orígenes del agua:
- Agua que llega o sale de la celda debido a intercambios con las celdas que la rodean.
- Agua inyectada o bombeada por sondeos, infiltración de lluvia, etc.
El agua que atraviesa la superficie que separa las celdas W y C puede ser determinada con la fórmula de Darcy:
Twc es la transmisividad media en la superficie de contacto de las celdas. Una aproximación común de Twc es:
O más físicamente:
Procediendo similarmente con las otras celdas, se obtiene:
Q1=Twc·(Hw-Hc)+ Tec·(He-Hc)+ Tnc·(Hn-Hc)+ Tsc·(Hs-Hc)
El agua inyectada o bombeada por sondeos, infiltración de lluvia, etc., equivale a:
Q2 = +(Caudales de inyección) – (Caudales de extracción) + (Infiltración) – (Drenaje)
Durante el tiempo entre t1 y t2, el balance de masa resulta:
S ·(H ’- H )∆x2 = Q ·(t – t ) + Q ·(t – t )
Y llamando (t2 – t1) = ∆t
,tenemos:
Esta expresión es una aproximación de la ecuación de flujo, basada en el principio de conservación de masa.
Extracto de uno de los módulos del “Curso de Simulación numérica de aguas subterráneas con Visual MODFLOW“, que se imparte en el centro de formación Ingeoexpert, de la mano de Alberto Barrera, colaborador de nuestra empresa.
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